Produktmorphismus
Definition
Sei \(f:X\rightarrow A\) und \(g:Y\rightarrow B\) dann ist der Produktmorphismus \(f\times g: X\times Y\rightarrow A\times B\) über weitere Morphismen \(q_1:X\times Y\rightarrow X\), \(q_2:X\times Y\rightarrow Y\), \(p_1:A\times B\rightarrow A\) und \(p_2:A\times B\rightarrow B\) sowie die Beziehungen \(f\circ q_1= p_1\circ (f\times g)\) und \(g\circ q_2= p_2\circ (f\times g)\) folgendermaßen definiert: \(f\times g= \langle f\circ q_1, g\circ q_2\rangle\).
Dieser Zusammenhang wird bei Betrachtung des kommutativen Diagramms zum Multimorphismus deutlich:
Ersetzen wir hierbei \(Z\) durch \(X\times Y\) und integrieren \(q_1:X\times Y\rightarrow X\) sowie \(q_2:X\times Y\rightarrow Y\) als Zwischenschritte über \(X\) beziehungsweise \(Y\), erhalten wir folgendes Diagramm:
Ko-Produktmorphismus
Wie schon zum Multimorphismus existiert auch zum Produktmorphismus das duale Konzept des Ko-Produktmorphismus
Den Ko-Produktmorphismus erhalten wir analog zu oben, indem wir im kommutativen Diagramm des Polymorphismus \(Z\) mit \(X+Y\) ersetzen und anschließend \(p_1=X\rightarrow X+Y\) und \(p_2=Y\rightarrow X+Y\) als Zwischenschritte über \(X\) beziehungsweise \(Y\) einfuehren.
Als Ergebnis entsteht folgendes Diagramm
Definition
Sei \(f:X\rightarrow A\) und \(g:Y\rightarrow B\) dann ist der Ko-Produktmorphismus \(f+g:A+B\rightarrow X+Y\) über weitere Morphismen \(q_1:A\rightarrow A+B\), \(q_2:B\rightarrow A+B\), \(p_1:X\rightarrow X+Y\) und \(p_2:Y\rightarrow X+Y\) sowie die Beziehungen \(p_1\circ f= (f+g)\circ q_1\) und \(p_2\circ g=(f+g)\circ q_2\) folgendermaßen definiert: \(f+g=[p_1\circ f, p_2\circ g]\).
Der einzige Unterschied zum Polymorphismus besteht darin, dass der Ko-Produktmorphismus in beiden Fällen in die gleiche Ko-Domäne abbildet.
Preview
Beim naechsten Mal gibt's alles zum Thema F-Algebren, damit haben wir dann alle Grundlagen zusammen um rekursive Morphismen zu definieren... exciting!
